あなたの使ってる環境がどんな機種でどんなブラウザ使ってるのかとか全く分からんからエスパー解答するけど、プライベートブラウザモードでアプリ終了時にてCookie他全てが消えてるんじゃないかなぁ。
もしくは、何らかのセキュリティソフトでCookie等を消去するようなことをしているか。

なろう(読もう)の閲覧履歴の下部にある設定切り替えは、履歴を記録される状態だと履歴を記録しないようにするためのボタンとして「閲覧履歴を記録しない[変更]」って表示されるみたい。
なので、この状態ならなろう側は閲覧履歴が記録される状態になってるはず。

今現在の状態として、この辺が分かるともう少しましな回答が出来るかもしれないですね。
・他の小説ページ見て閲覧履歴に記録がされるのか
・ブラウザを終了（タスクキル）した後に閲覧履歴に記録が残っているのか
・プライベートブラウザの使用の有無
・使ってるスマホの機種とブラウザとバージョン